Một mô hình của các tiên đề Peano là một bộ ba (N, 0, S), trong đó N là một tập hợp (nhất thiết là vô hạn), 0 ∈ N và S: N → N thỏa mãn các tiên đề ở trên. Dedekind đã chứng minh trong cuốn sách năm 1888 của mình, Bản chất và ý nghĩa của những con số (tiếng Đức: Was sind und was sollen die Zahlen?, tức là, "Số là gì và chúng có công dụng gì?") rằng hai mô hình bất kì của tiên đề Peano (bao gồm cả tiên đề quy nạp bậc hai) là đẳng cấu. Đặc biệt, với hai mô hình (NA, 0A, SA) và (NB, 0B, SB) của các tiên đề Peano, có một phép đồng hình duy nhất f: NA → NB thỏa mãn

f ( 0 A ) = 0 B f ( S A ( n ) ) = S B ( f ( n ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(0_{A})&=0_{B}\\f(S_{A}(n))&=S_{B}(f(n))\end{aligned}}}

và nó là một song ánh. Điều này có nghĩa là các tiên đề Peano bậc hai là có tính phạm trù. Tuy nhiên, điều này không áp dụng với bất kỳ cách xây dựng lại bậc nhất nào của các tiên đề Peano.

Các mô hình lý thuyết tập hợp

Các tiên đề Peano có thể được rút ra từ các cấu trúc được xây dựng bởi lý thuyết tập hợp của các số tự nhiên và các tiên đề của lý thuyết tập hợp như ZF.[11] Cấu trúc chuẩn mực của số tự nhiên, theo John von Neumann, bắt đầu từ định nghĩa 0 là tập rỗng, ∅, và một toán tử s trên các tập hợp với định nghĩa:

s ( a ) = a ∪ { a } {\displaystyle s(a)=a\cup \{a\}}

Tập hợp các số tự nhiên N được định nghĩa là giao của tất cả các tập đóng dưới s mà có chứa tập rỗng. Mỗi số tự nhiên bằng (dưới dạng tập hợp) với tập hợp số tự nhiên nhỏ hơn số đó:

0 = ∅ 1 = s ( 0 ) = s ( ∅ ) = ∅ ∪ { ∅ } = { ∅ } = { 0 } 2 = s ( 1 ) = s ( { 0 } ) = { 0 } ∪ { { 0 } } = { 0 , { 0 } } = { 0 , 1 } 3 = s ( 2 ) = s ( { 0 , 1 } ) = { 0 , 1 } ∪ { { 0 , 1 } } = { 0 , 1 , { 0 , 1 } } = { 0 , 1 , 2 } {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\emptyset \\1&=s(0)=s(\emptyset )=\emptyset \cup \{\emptyset \}=\{\emptyset \}=\{0\}\\2&=s(1)=s(\{0\})=\{0\}\cup \{\{0\}\}=\{0,\{0\}\}=\{0,1\}\\3&=s(2)=s(\{0,1\})=\{0,1\}\cup \{\{0,1\}\}=\{0,1,\{0,1\}\}=\{0,1,2\}\end{aligned}}}

và cứ thế. Tập N cùng với 0 và hàm kế tiếp s: N → N thỏa mãn các tiên đề Peano.

Số học Peano có sự nhất quán tương đương với một số hệ thống yếu của lý thuyết tập hợp.[12] Một ví dụ là hệ thống ZFC với tiên đề vô cùng được thay thế bằng phủ định của nó. Một ví dụ khác bao gồm lý thuyết tập hợp tổng quát (ngoại diên, sự tồn tại của tập hợp rỗng và tiên đề về tập phụ thêm) được bổ sung thêm một sơ đồ tiên đề nói rằng một thuộc tính đúng với tập rỗng và đúng với tập phụ thêm bất cứ khi nào nó đúng với phần phụ thêm thì đúng với tất cả các tập hợp.

Diễn giải trong lý thuyết phạm trù

Các tiên đề Peano cũng có thể được hiểu bằng lý thuyết phạm trù. Đặt C là một phạm trù với đối tượng đầu cuối 1C và định nghĩa phạm trù của các hệ thống đơn phân nhọn, US1(C) như sau:

• Các đối tượng của US1(C) là bộ ba (X, 0X, SX) trong đó X là đối tượng của C và 0X: 1C → X và SX: X → X là một C-cấu xạ.
• Một cấu xạ φ: (X, 0X, SX)→ (Y, 0Y, SY)là một C-cấu xạ φ: X → Y với φ 0X = 0Y và φ SX = SY φ

Sau đó, C được cho là thỏa mãn các tiên đề Peano của Dedekind, nếu US1(C) có một đối tượng mở đầu; đối tượng mở đầu này được gọi là đối tượng số tự nhiên trong C. Nếu (N, 0, S) là đối tượng mở đầu này và (X, 0X, SX) là bất kỳ đối tượng nào khác, thì ánh xạ duy nhất u: (N, 0, S) → (X, 0X, SX) là

u 0 = 0 X , u ( S x ) = S X ( u x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}u0&=0_{X},\\u(Sx)&=S_{X}(ux).\end{aligned}}}

Đây chính xác là định nghĩa đệ quy của 0X và SX.